Quantenlogik

@Greta

Beim Mach-Zehnder-Interferometer (MZI) stellt sich folgende Frage, die mit herkömmlicher Aussagen-/Prädikatenlogik nicht beantwortet werden kann.

Man schickt ein Photon durch einen halbdurchlässigen Spiegel. Das Photon kann dann - nach gewohnter Logik - entweder passieren oder reflektiert werden. Führt man eine Messung durch, erhält man auch tatsächlich immer ein eindeutiges Messergebnis: das Photon hat entweder den Halbspiegel passiert oder es wurde reflektiert. Allerdings ist das Messergebnis vollkommen zufällig. Den beiden alternativen Richtungen kann man die Werte w und f oder 1 und 0 oder links und rechts zuordnen. Man erhält also rein zufällig immer w oder f (1 oder 0).

Hier wird also nicht dem Satz ein Wahrheitswert zugeordnet in der Weise, dass er den Wert w erhält, wenn er mit dem behaupteten Sachverhalt übereinstimmt, und den Wert f, wenn keine Übereinstimmung gegeben ist. Vielmehr werden die beiden alternativen Zustände direkt als logische Werte interpretiert: links = w; rechts = f.

Nun kann man zwei MZI so hintereinander schalten, dass - bei bekanntem Eingabewert w - eine Messung nach dem zweiten Bauteil immer den Wert f ergibt (und umgekehrt) - während doch das Messergebnis nach dem ersten Bauteil vollkommen zufällig war. Mit klassischer Logik ist ein derartiges Verhalten überhaupt nicht erklärbar

Um dieses seltsame Verhalten qualitativ-logisch zu rekonstruieren, hat D. Deutsch den √-Junktor eingeführt, der so definiert ist, dass gilt: √√p ⇔ ¬p. Wie bisher gilt: ¬¬p ⇔ p. (Also gilt eben auch: √√√√p ⇔ p).

@Greta

Beim Mach-Zehnder-Interferometer (MZI) stellt sich folgende Frage, die mit herkömmlicher Aussagen-/Prädikatenlogik nicht beantwortet werden kann.

Man schickt ein Photon durch einen halbdurchlässigen Spiegel. Das Photon kann dann - nach gewohnter Logik - entweder passieren oder reflektiert werden. Führt man eine Messung durch, erhält man auch tatsächlich immer ein eindeutiges Messergebnis: das Photon hat entweder den Halbspiegel passiert oder es wurde reflektiert. Allerdings ist das Messergebnis vollkommen zufällig. Den beiden alternativen Richtungen kann man die Werte w und f oder 1 und 0 oder links und rechts zuordnen. Man erhält also rein zufällig immer w oder f (1 oder 0).

Hier wird also nicht dem Satz ein Wahrheitswert zugeordnet in der Weise, dass er den Wert w erhält, wenn er mit dem behaupteten Sachverhalt übereinstimmt, und den Wert f, wenn keine Übereinstimmung gegeben ist. Vielmehr werden die beiden alternativen Zustände direkt als logische Werte interpretiert: links = w; rechts = f.

Nun kann man zwei MZI so hintereinander schalten, dass - bei bekanntem Eingabewert w - eine Messung nach dem zweiten Bauteil immer den Wert f ergibt (und umgekehrt) - während doch das Messergebnis nach dem ersten Bauteil vollkommen zufällig war. Mit klassischer Logik ist ein derartiges Verhalten überhaupt nicht erklärbar

Um dieses seltsame Verhalten qualitativ-logisch zu rekonstruieren, hat D. Deutsch den √-Junktor eingeführt, der so definiert ist, dass gilt: √√p ⇔ ¬p. Wie bisher gilt: ¬¬p ⇔ p. (Also gilt eben auch: √√√√p ⇔ p).

Zitat von ahasver

ein halbdurchlässiger Spiegel <=> √
2 halbdurchlässige Spiegel = 1 MZI <=> √√ <=> ¬

4 halbdurchlässige Spiegel = 2 MZI <=> √√√√ <=> ¬¬

Ja ok, hast recht. So sollte es heißen.

Danke für den Hinweis.

Zitat von ahasver

ein halbdurchlässiger Spiegel <=> √
2 halbdurchlässige Spiegel = 1 MZI <=> √√ <=> ¬

4 halbdurchlässige Spiegel = 2 MZI <=> √√√√ <=> ¬¬

Ja ok, hast recht. So sollte es heißen.

Danke für den Hinweis.

Kurze Rekapitulation:

In seinem Artikel Machines, Logic and Quantum Physics hat David Deutsch eine interessante Interpretation des Mach-Zehnder-Interferometers (MZI) gegeben. Diesem Ansatz zufolge kann man die Wirkungsweise eines halb durchlässigen Spiegels als neuartigen aussagenlogischen (al) Junktor interpretieren. Diesen Junktor bezeichnet Deutsch als 'Wurzel(nicht)'. Ich schreibe dafür kurz √.
Der Junktor funktioniert so, dass seine zweimalige Anwendung auf einen Satz p einer Verneinung entspricht: √√p ⇔ ¬p.

Die Einführung des Wurzel-Nicht-Junktors √ wirft die Frage nach der Gültigkeit des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten (SaD) auf, denn offenbar ist √p verschieden von p und ¬p. Wenn wir ¬p wie bisher als Verneinung* von p lesen, ist mit √p ein logisches Drittes gegeben.

------------------------------------------------------------------------------------------

Weiter geht's im Text.

Neben dem relativ jungen Aufsatz von Deutsch gibt es eine Überlegung zur Quantenlogik von Birkhoff und v. Neumann aus dem Jahr 1936. Der Kern dieser Quantenlogik besteht in der Feststellung, dass das Distributivgesetz in der Quantenwelt nicht uneingeschränkt gilt. Ein Spezialfall dieses Gesetzes ist:

(1)--------- p∧(q∨¬q) ⇔ (p∧q)∨(p∧¬q).

Dieses Gesetz ist immer dann nicht gültig, wenn p und q inkommensurable Eigenschaften (bzw. inkommensurable Sachverhalte) sind wie z.B. Ort und Impuls eines 'Teilchens' oder eben auch die Bewegung eines 'Teilchens' entlang eines Astes im MZI.**

Dies stimmt nun sehr gut mit Deutschs √-Operator zusammen, was eine einfache Rechnung zeigt. Da q und ¬q (orthokomplementäre) Gegensätze sind, hat die Adjunktion q∨¬q den Wert 1, sodass sich für die linke Hälfte der obigen Äquivalenz ergibt:

p∧(q∨¬q) ⇔ p∧1 ⇔ p

Da p und q vereinbarungsgemäß inkommensurabel sind, ergibt sich für die Konjunktionen p∧q und p∧¬q jeweils der Wert 0, sodass die rechte Seite der Äquivalenz (1) insgesamt den Wert 0 hat. Das Distributivgesetz ist verletzt. Substituieren wir √p für q, ist der direkte Zusammenhang mit Deutschs Wurzel-Nicht-Maschine offensichtlich.

* Man spricht hier von 'Orthogonalität', um sprachlich auf die Besonderheit der Verneinung hinzuweisen.
** Da der Begriff 'Teilchen' insofern irreführend ist als ihm auch Welleneigenschaften zukommen können, ist es vielleicht besser, konsequent von Quanten statt von Teilchen zu sprechen.

Kurze Rekapitulation:

In seinem Artikel Machines, Logic and Quantum Physics hat David Deutsch eine interessante Interpretation des Mach-Zehnder-Interferometers (MZI) gegeben. Diesem Ansatz zufolge kann man die Wirkungsweise eines halb durchlässigen Spiegels als neuartigen aussagenlogischen (al) Junktor interpretieren. Diesen Junktor bezeichnet Deutsch als 'Wurzel(nicht)'. Ich schreibe dafür kurz √.
Der Junktor funktioniert so, dass seine zweimalige Anwendung auf einen Satz p einer Verneinung entspricht: √√p ⇔ ¬p.

Die Einführung des Wurzel-Nicht-Junktors √ wirft die Frage nach der Gültigkeit des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten (SaD) auf, denn offenbar ist √p verschieden von p und ¬p. Wenn wir ¬p wie bisher als Verneinung* von p lesen, ist mit √p ein logisches Drittes gegeben.

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Weiter geht's im Text.

Neben dem relativ jungen Aufsatz von Deutsch gibt es eine Überlegung zur Quantenlogik von Birkhoff und v. Neumann aus dem Jahr 1936. Der Kern dieser Quantenlogik besteht in der Feststellung, dass das Distributivgesetz in der Quantenwelt nicht uneingeschränkt gilt. Ein Spezialfall dieses Gesetzes ist:

(1)--------- p∧(q∨¬q) ⇔ (p∧q)∨(p∧¬q).

Dieses Gesetz ist immer dann nicht gültig, wenn p und q inkommensurable Eigenschaften (bzw. inkommensurable Sachverhalte) sind wie z.B. Ort und Impuls eines 'Teilchens' oder eben auch die Bewegung eines 'Teilchens' entlang eines Astes im MZI.**

Dies stimmt nun sehr gut mit Deutschs √-Operator zusammen, was eine einfache Rechnung zeigt. Da q und ¬q (orthokomplementäre) Gegensätze sind, hat die Adjunktion q∨¬q den Wert 1, sodass sich für die linke Hälfte der obigen Äquivalenz ergibt:

p∧(q∨¬q) ⇔ p∧1 ⇔ p

Da p und q vereinbarungsgemäß inkommensurabel sind, ergibt sich für die Konjunktionen p∧q und p∧¬q jeweils der Wert 0, sodass die rechte Seite der Äquivalenz (1) insgesamt den Wert 0 hat. Das Distributivgesetz ist verletzt. Substituieren wir √p für q, ist der direkte Zusammenhang mit Deutschs Wurzel-Nicht-Maschine offensichtlich.

* Man spricht hier von 'Orthogonalität', um sprachlich auf die Besonderheit der Verneinung hinzuweisen.
** Da der Begriff 'Teilchen' insofern irreführend ist als ihm auch Welleneigenschaften zukommen können, ist es vielleicht besser, konsequent von Quanten statt von Teilchen zu sprechen.

Zitat von C. F. v. Weizsäcker

C. F. v. Weizsäcker schrieb: Es wäre denkbar, dass uns am Beispiel der heutigen Physik Strukturen des Seienden deutlich geworden wären, die mit der ontologischen Hypothese, welche der klassischen Logik zugrunde liegt, unvereinbar wären.

- Zum Weltbild der Physik (301) -

Die im vorigen Beitrag kurz angerissene Idee, die Logik der Quantenphänomene durch einen Verzicht auf das klassische Distributivgesetz auszudrücken, ist nur eine von mehreren denkbaren Optionen. Eine andere Möglichkeit liegt im Verzicht auf den SaD.

Entscheidend für den Nachweis der Nichtdistributivität in

(1)--------- p∧(q∨¬q) ⇔ (p∧q)∨(p∧¬q)

war ja die Anwendung des SaD in der Festsetzung: q∨¬q ⇔ 1. Diese Anwendung des SaD im Verein mit dem wechselseitigen Ausschluss der gleichzeitigen Bestimmung komplementärer Eigenschaften, ausgedrückt durch die Festsetzung p∧q ⇔ 0 für komplementäre p und q, hat die Suspendierung des Distributivgesetzes erzwungen. Den Ansatz mehrwertigen einer mehrwertigen Quantenlogik, skizziert v. Weizsäcker in seiner Festschrift "Komplementarität und Logik" (1955).

Zitat von v. Weizsäcker

Wenn von zwei zueinander komplementären Aussagen die eine wahr oder falsch ist, so ist die andere weder wahr noch falsch. (309)

Eine Aussage, die nicht wahr ist, kann auch unbestimmt oder unentschieden sein, wobei Unentschiedenheit eben bedeutet: "Eine elementare Aussage heißt unentschieden wenn sie weder wahr noch falsch ist" (310). Im Kern führt v. Weizsäcker damit eine neuartige Verneinung ein, die auf eine Unterscheidung von 'nicht wahr' und 'falsch' hinausläuft. Für diese modifizierte v. Weizsäckersche Verneinung führe ich das Zeichen '~' ein Diese modifizierte Verneinung könnte man so darstellen:

(2)--------- ~p ⇔ ¬p ∨ √p ∨ √¬p

was man so paraphrasieren kann: Wenn p nicht wahr ist, dass ist p entweder falsch oder unbestimmt.

V. Weizsäcker verfährt an der zitierten Stelle anders - er macht die Abänderung der Logik nicht an der Verneinung, sondern an der Unterscheidung von Objekt- und Metasprache fest:

Zitat von v. Weizsäcker

Die beiden Aussagen a₁ und "a₁ ist wahr" gehören verschiedenen Stufen an, haben also sicher verschiedenen Sinn... Zwar folgt aus der Wahrheit bez. Falschheit von a₁ die Wahrheit bzw. Falschheit von "a₁ ist wahr", aber nicht umgekehrt. Denn wenn "a₁ ist wahr" falsch ist, kann a₁ unbestimmt sein.

Zitat von C. F. v. Weizsäcker

C. F. v. Weizsäcker schrieb: Es wäre denkbar, dass uns am Beispiel der heutigen Physik Strukturen des Seienden deutlich geworden wären, die mit der ontologischen Hypothese, welche der klassischen Logik zugrunde liegt, unvereinbar wären.

- Zum Weltbild der Physik (301) -

Die im vorigen Beitrag kurz angerissene Idee, die Logik der Quantenphänomene durch einen Verzicht auf das klassische Distributivgesetz auszudrücken, ist nur eine von mehreren denkbaren Optionen. Eine andere Möglichkeit liegt im Verzicht auf den SaD.

Entscheidend für den Nachweis der Nichtdistributivität in

(1)--------- p∧(q∨¬q) ⇔ (p∧q)∨(p∧¬q)

war ja die Anwendung des SaD in der Festsetzung: q∨¬q ⇔ 1. Diese Anwendung des SaD im Verein mit dem wechselseitigen Ausschluss der gleichzeitigen Bestimmung komplementärer Eigenschaften, ausgedrückt durch die Festsetzung p∧q ⇔ 0 für komplementäre p und q, hat die Suspendierung des Distributivgesetzes erzwungen. Den Ansatz mehrwertigen einer mehrwertigen Quantenlogik, skizziert v. Weizsäcker in seiner Festschrift "Komplementarität und Logik" (1955).

Zitat von v. Weizsäcker

Wenn von zwei zueinander komplementären Aussagen die eine wahr oder falsch ist, so ist die andere weder wahr noch falsch. (309)

Eine Aussage, die nicht wahr ist, kann auch unbestimmt oder unentschieden sein, wobei Unentschiedenheit eben bedeutet: "Eine elementare Aussage heißt unentschieden wenn sie weder wahr noch falsch ist" (310). Im Kern führt v. Weizsäcker damit eine neuartige Verneinung ein, die auf eine Unterscheidung von 'nicht wahr' und 'falsch' hinausläuft. Für diese modifizierte v. Weizsäckersche Verneinung führe ich das Zeichen '~' ein Diese modifizierte Verneinung könnte man so darstellen:

(2)--------- ~p ⇔ ¬p ∨ √p ∨ √¬p

was man so paraphrasieren kann: Wenn p nicht wahr ist, dass ist p entweder falsch oder unbestimmt.

V. Weizsäcker verfährt an der zitierten Stelle anders - er macht die Abänderung der Logik nicht an der Verneinung, sondern an der Unterscheidung von Objekt- und Metasprache fest:

Zitat von v. Weizsäcker

Die beiden Aussagen a₁ und "a₁ ist wahr" gehören verschiedenen Stufen an, haben also sicher verschiedenen Sinn... Zwar folgt aus der Wahrheit bez. Falschheit von a₁ die Wahrheit bzw. Falschheit von "a₁ ist wahr", aber nicht umgekehrt. Denn wenn "a₁ ist wahr" falsch ist, kann a₁ unbestimmt sein.

Wenn man in irgendeiner Weise an der logischen Verneinung herumschraubt, ergeben sich notwendigerweise Konsequenzen für den SaD. Die Einführung des √-Junktors ist so eine Modifikation.

Nun kann man die Verneinung im Sinne der Orthokomplementarität umdefinieren, um den SaD zu retten, oder man führt einen nochmal neuen Typ von Verneinung ein, der den SaD wiederherstellte. Letzteres kann man machen, indem man definiert:

(2)--------- ~p ⇔ ¬p ∨ √p ∨ √¬p

Dann ist p∨~p logisch wahr, erfüllt also den SaD. In deinen Worten: Der Vektor |p> liegt vor, oder der Vektor |p> liegt nicht vor. Diese Feststellung entspricht aber keinem Messergebnis - denn das Ergebnis einer Messung ist immer entweder |p> oder |¬p>. p∨~p vermischt also empirische und epistemische Gegebenheiten. Was kann das heißen?

Man muss sich dessen bewusst sein, dass keine der drei Verneinungen ~, ¬ und √ dem klassischen Nicht genau entspricht.

Logisch interessant ist folgende Erweiterung von Deutschs Versuchsaufbau. Statt nur zwei Halbspiegel zu einem MZI zu verkoppeln, nimmt man vier. Die Strahlengänge werden durch zusätzliche Umlenkspiegel so angepasst, dass eine Endlosschleife entsteht:

(3)--------- ... ↦ p ↦ √p ↦ ¬p ↦ √¬p ↦ p ↦ ...

Wo immer man misst, welchen Weg das Photon nimmt, ist das Ergebnis 1 oder 0. Misst man nur hinter ungeradzahligen Spiegeln: 1, 3: so erhält man zuverlässig immer dieselben Messwerte, beispielsweise 1 für Spiegel 1 und 0 für Spiegel 3. Misst man aber hinter zwei aufeinander folgenden Spiegeln, ist das Ergebnis der zweiten Messung rein zufällig 1 oder 0.

Wenn man in irgendeiner Weise an der logischen Verneinung herumschraubt, ergeben sich notwendigerweise Konsequenzen für den SaD. Die Einführung des √-Junktors ist so eine Modifikation.

Nun kann man die Verneinung im Sinne der Orthokomplementarität umdefinieren, um den SaD zu retten, oder man führt einen nochmal neuen Typ von Verneinung ein, der den SaD wiederherstellte. Letzteres kann man machen, indem man definiert:

(2)--------- ~p ⇔ ¬p ∨ √p ∨ √¬p

Dann ist p∨~p logisch wahr, erfüllt also den SaD. In deinen Worten: Der Vektor |p> liegt vor, oder der Vektor |p> liegt nicht vor. Diese Feststellung entspricht aber keinem Messergebnis - denn das Ergebnis einer Messung ist immer entweder |p> oder |¬p>. p∨~p vermischt also empirische und epistemische Gegebenheiten. Was kann das heißen?

Man muss sich dessen bewusst sein, dass keine der drei Verneinungen ~, ¬ und √ dem klassischen Nicht genau entspricht.

Logisch interessant ist folgende Erweiterung von Deutschs Versuchsaufbau. Statt nur zwei Halbspiegel zu einem MZI zu verkoppeln, nimmt man vier. Die Strahlengänge werden durch zusätzliche Umlenkspiegel so angepasst, dass eine Endlosschleife entsteht:

(3)--------- ... ↦ p ↦ √p ↦ ¬p ↦ √¬p ↦ p ↦ ...

Wo immer man misst, welchen Weg das Photon nimmt, ist das Ergebnis 1 oder 0. Misst man nur hinter ungeradzahligen Spiegeln: 1, 3: so erhält man zuverlässig immer dieselben Messwerte, beispielsweise 1 für Spiegel 1 und 0 für Spiegel 3. Misst man aber hinter zwei aufeinander folgenden Spiegeln, ist das Ergebnis der zweiten Messung rein zufällig 1 oder 0.