Das Collatz Problem

Zitat von Burkart

Hübsche bunte Graphen, die die Zusammenhänge der ersten natürlichen Zahlen zeigen.

Die Farben sollen lediglich gewisse Strukturmerkmale hervorheben. Z. B. kennzeichnet ein roter Rahmen ein Vielfaches von [lexicon]3[/lexicon]. Das spielt später noch eine Rolle. Ich hab die Farbvergabe nochmal ein wenig angepasst:
philosophie-raum.de/index.php?attachment/9460/

Zitat von Burkart

Ja, es ist ja bekannt, dass das die Collatz-Vermutung bis zu seeeehr große Zahlen bestätigt wurde, nur gibt es eben leider keinen Beweis für alle Zahlen.

Es ist trivial, die Vermutung, wie oben formluliert, zu widerlegen, denn 2>1 und die Sequenz 2->1 geht eben nicht über [lexicon]4[/lexicon]. Ich hatte bereits irgendwo am Threadanfang angemerkt dass die Vermutung bereits durch die Sequenz auf 2 widerlegt wäre, "wenn man es ernst nimmt".
Das ist aber langweilig und der interessante Part beginnt ja erst mit den in den Sequenzen auftretenden Mustern und Regelmäßigkeiten. Eine leichte Umformulierung wie etwa z. B. "außer 2" in der Vermutung genügt ja schließlich um das eigentliche Problem quasi zu reanimieren.

Der Graph der Sequenzen von 1-15 enthält sämtliche möglichen 4bit-Kombinationen und darüber hinaus lediglich vollständige Sequenzen (Vollständige Sequenzen zeichnen sich dadurch aus, dass sie auf einem ungeraden Vielfachen von [lexicon]3[/lexicon] beginnen und immer nur ein ungerades Vielfaches von [lexicon]3[/lexicon], nämlich das, auf dem sie jeweils starten, enthalten).
Sofern alle möglichen (vollständigen) 4bit-Sequenzen abgebildet sind und offensichtlich aufgehen, muss jede andere Zahl auch aufgehen, denn alle Zahlen setzen sich ja aus diesen möglichen Bitfolgen zusammen, nur eben im Stellenwert verschoben. (Rein schematisch quasi dasselbe, wie [lexicon]3[/lexicon]/[lexicon]3[/lexicon]=1, 33/[lexicon]3[/lexicon]=11, 333/[lexicon]3[/lexicon]=111...)
Und da sich somit jede mögliche Bitfolge entsprechend der Vermutung auflösen lässt, ist bewiesen, dass jede Sequenz auf jeder natürlichen Zahl außer 2 in [lexicon]4[/lexicon]->2->1 enden muss.

Zitat von Burkart

Hübsche bunte Graphen, die die Zusammenhänge der ersten natürlichen Zahlen zeigen.

Die Farben sollen lediglich gewisse Strukturmerkmale hervorheben. Z. B. kennzeichnet ein roter Rahmen ein Vielfaches von [lexicon]3[/lexicon]. Das spielt später noch eine Rolle. Ich hab die Farbvergabe nochmal ein wenig angepasst:
philosophie-raum.de/index.php?attachment/9460/

Zitat von Burkart

Ja, es ist ja bekannt, dass das die Collatz-Vermutung bis zu seeeehr große Zahlen bestätigt wurde, nur gibt es eben leider keinen Beweis für alle Zahlen.

Es ist trivial, die Vermutung, wie oben formluliert, zu widerlegen, denn 2>1 und die Sequenz 2->1 geht eben nicht über [lexicon]4[/lexicon]. Ich hatte bereits irgendwo am Threadanfang angemerkt dass die Vermutung bereits durch die Sequenz auf 2 widerlegt wäre, "wenn man es ernst nimmt".
Das ist aber langweilig und der interessante Part beginnt ja erst mit den in den Sequenzen auftretenden Mustern und Regelmäßigkeiten. Eine leichte Umformulierung wie etwa z. B. "außer 2" in der Vermutung genügt ja schließlich um das eigentliche Problem quasi zu reanimieren.

Der Graph der Sequenzen von 1-15 enthält sämtliche möglichen 4bit-Kombinationen und darüber hinaus lediglich vollständige Sequenzen (Vollständige Sequenzen zeichnen sich dadurch aus, dass sie auf einem ungeraden Vielfachen von [lexicon]3[/lexicon] beginnen und immer nur ein ungerades Vielfaches von [lexicon]3[/lexicon], nämlich das, auf dem sie jeweils starten, enthalten).
Sofern alle möglichen (vollständigen) 4bit-Sequenzen abgebildet sind und offensichtlich aufgehen, muss jede andere Zahl auch aufgehen, denn alle Zahlen setzen sich ja aus diesen möglichen Bitfolgen zusammen, nur eben im Stellenwert verschoben. (Rein schematisch quasi dasselbe, wie [lexicon]3[/lexicon]/[lexicon]3[/lexicon]=1, 33/[lexicon]3[/lexicon]=11, 333/[lexicon]3[/lexicon]=111...)
Und da sich somit jede mögliche Bitfolge entsprechend der Vermutung auflösen lässt, ist bewiesen, dass jede Sequenz auf jeder natürlichen Zahl außer 2 in [lexicon]4[/lexicon]->2->1 enden muss.

Hallo novon,

mir ist nicht klar, was du mit den Grafiken und [lexicon]4[/lexicon]-Bit-Kominationen und -Sequenzen zeigen möchtest.
Meinst du z.B., dass jede Zahl mit den gleichen [lexicon]4[/lexicon] Bits hinten ähnliche Eigenschaften hat? Welche ggf.?

Deine letzte Aussage...
"Und da sich somit jede mögliche Bitfolge entsprechend der Vermutung auflösen lässt, ist bewiesen, dass jede Sequenz auf jeder natürlichen Zahl außer 2 in 4->2->1 enden muss."
...betrifft natürlich die kleinsten 16 Zahlen, auch (experimentell ermittelt) größere Zahlen.
Willst du damit irgendwie auf alle Zahlen schließen? Wenn ja, wie? (Bitte irgendwie mathematisch und nicht mit Farben )

Schönes Wochenende
Burkart

Hallo novon,

mir ist nicht klar, was du mit den Grafiken und [lexicon]4[/lexicon]-Bit-Kominationen und -Sequenzen zeigen möchtest.
Meinst du z.B., dass jede Zahl mit den gleichen [lexicon]4[/lexicon] Bits hinten ähnliche Eigenschaften hat? Welche ggf.?

Deine letzte Aussage...
"Und da sich somit jede mögliche Bitfolge entsprechend der Vermutung auflösen lässt, ist bewiesen, dass jede Sequenz auf jeder natürlichen Zahl außer 2 in 4->2->1 enden muss."
...betrifft natürlich die kleinsten 16 Zahlen, auch (experimentell ermittelt) größere Zahlen.
Willst du damit irgendwie auf alle Zahlen schließen? Wenn ja, wie? (Bitte irgendwie mathematisch und nicht mit Farben )

Schönes Wochenende
Burkart

Zitat von Burkart

mir ist nicht klar, was du mit den Grafiken und [lexicon]4[/lexicon]-Bit-Kominationen und -Sequenzen zeigen möchtest.

Die Graphen veranschaulichen Zusammenhänge, die sich so nicht abzeichnen, wenn man sich die einzelnen Sequenzen ansieht. Sie entstehen grob derart, dass ich sämtliche Sequenzen zwischen z. B. 1 und 16 berechne, in ein Array speicher und die distinkten Transitionen darin als Nodes (ungerade) und Edges (gerade) darstelle. Das ganze von rechts nach links. Der Beginn der Sequenzen ist also jeweils rechts zu finden.

Zitat von Burkart

Meinst du z.B., dass jede Zahl mit den gleichen [lexicon]4[/lexicon] Bits hinten ähnliche Eigenschaften hat? Welche ggf.?

Nicht hinten, sondern quasi vorne, also in den HSB (s. u.). 4bittig lediglich weil sich relativ übersichtlich zeigen lässt, wir jede möglich 4bit-Folge - und sämtliche 4n+1 dieser - nach 1 auflöst. Und wenn das mit [lexicon]vier[/lexicon] Bits klappt, muss das auch mit beliebig langen anderen Bitfolgen funktionieren, denn außer der Anzahl möglicher Kombinationen ändert sich schematisch ja nichts daran, wie die Bitfolgen auflösen.

Über den Zweierpotenzen zeigt sich ja ein Pattern der Zahlen, die direkt darauf auflösen (Rank). 5 (101b), 21 (10101b), 85 (1010101b), 341 (101010101b)... Fällt ja auf, dass die Werte auf dem Rank sich dadurch auszeichnen, dass der nächsthöhere Wert jeweils nach einer bestimmten Rechenvorschrift gebildet werden kann. Binär betrachtet m << 2 + 1, arithmetisch 4n+1. Wir können demnach berechnen, wie sich der jeweilige Rank über einer auftretenden Zahl fortentwickeln wird, ohne dazu irgendwelche Sequenzen berechnen zu müssen. Nach 341 geht es also so weiter: 1365, 5461, 21845...
Das gleiche gilt für jeden einzelnen Node. Was löst nach fünf auf? 3, 13, 53, 213, 853... Nach 13? 17, 69, 277, 1109... Nach 17? 11, 45, 181, 725... Nach 19.273? 25.697, 102.789, 411.157, 1.644.629... Die letzte Gruppe binär:
25.697 110 0100 0110 0001
102.789 1 1001 0001 1000 0101
411.157 110 0100 0110 0001 0101
1.644.629 1 1001 0001 1000 0101 0101
...

Also beinhaltet z. B. der Graph von 1-15 neben sämtlichen direkt darin auftretenden Nodes implizit quasi auch bereits jeden Node der entsprechenden 4n+1-Sequenz darüber. Neben 3 (11b) also z. B. auch 938.249.922.368.853 (11010101010101010101010101010101010101010101010101b), der über 3n+1 = 2.814.749.767.106.560 (1010000000000000000000000000000000000000000000000000b) ebenso direkt nach 5 (101b) auflöst. Die entsprechende Sequenz sieht also so aus: 938.249.922.368.853 -> 2.814.749.767.106.560 -> (//48 Dividionen durch 2// ->) 5 -> (16 -> 8 -> [lexicon]4[/lexicon] -> 2 ->) 1.

Daraus folgt auch, dass kein Wert aus irgendeiner 4n+1-Sequenz über den bereits aufgetretenen Nodes noch in einem höheren Rank auftreten kann. 11b, 1101b, 110101b... können nur in demselben Rank wie [lexicon]3[/lexicon] auftreten. Statt Rank könnte man vielleicht von Klassen oder auch Mengen sprechen, die über jeder distinkten Bitfolge die nicht mit 01b in den LSB daherkommt via 4n+1 gebildet werden können:
K0 = {1, 5, 21...}
K1 = {[lexicon]3[/lexicon], 13, 53...}
K2 = {7, 29, 117...}
K3 = {11, 45, 181...}
K4 = {15, 61, 245...}
K5 = {17, 69, 277...}
...

Vielleicht könnte man, als Mathematiker, ja nun hingehen und irgendwie beweisen, dass durch die Klassen via Bijektion sämtliche ungeraden natürlichen Zahlen abgebildet sein müssen und daraus dann den Beweis der Vermutung herleiten. Ich bin aber wohl mathematisch zu unterbelichtet oder auch einfach zu blöd und das geht viel einfacher. Ist für mich eher so, als ob da ein unsichtbarer Elefant im Raum steht, den ich zwar rieche und höre, aber einfach nicht zu fassen bekomme. *g

Was die Graphen imo aber allemal zeigen, ist, dass es in den Sequenzen alles andere als chaotisch zugeht. Noch nicht einmal deterministisch-chaotisch. Alles superordentlich quasi.

Zitat von Burkart

mir ist nicht klar, was du mit den Grafiken und [lexicon]4[/lexicon]-Bit-Kominationen und -Sequenzen zeigen möchtest.

Die Graphen veranschaulichen Zusammenhänge, die sich so nicht abzeichnen, wenn man sich die einzelnen Sequenzen ansieht. Sie entstehen grob derart, dass ich sämtliche Sequenzen zwischen z. B. 1 und 16 berechne, in ein Array speicher und die distinkten Transitionen darin als Nodes (ungerade) und Edges (gerade) darstelle. Das ganze von rechts nach links. Der Beginn der Sequenzen ist also jeweils rechts zu finden.

Zitat von Burkart

Meinst du z.B., dass jede Zahl mit den gleichen [lexicon]4[/lexicon] Bits hinten ähnliche Eigenschaften hat? Welche ggf.?

Nicht hinten, sondern quasi vorne, also in den HSB (s. u.). 4bittig lediglich weil sich relativ übersichtlich zeigen lässt, wir jede möglich 4bit-Folge - und sämtliche 4n+1 dieser - nach 1 auflöst. Und wenn das mit [lexicon]vier[/lexicon] Bits klappt, muss das auch mit beliebig langen anderen Bitfolgen funktionieren, denn außer der Anzahl möglicher Kombinationen ändert sich schematisch ja nichts daran, wie die Bitfolgen auflösen.

Über den Zweierpotenzen zeigt sich ja ein Pattern der Zahlen, die direkt darauf auflösen (Rank). 5 (101b), 21 (10101b), 85 (1010101b), 341 (101010101b)... Fällt ja auf, dass die Werte auf dem Rank sich dadurch auszeichnen, dass der nächsthöhere Wert jeweils nach einer bestimmten Rechenvorschrift gebildet werden kann. Binär betrachtet m << 2 + 1, arithmetisch 4n+1. Wir können demnach berechnen, wie sich der jeweilige Rank über einer auftretenden Zahl fortentwickeln wird, ohne dazu irgendwelche Sequenzen berechnen zu müssen. Nach 341 geht es also so weiter: 1365, 5461, 21845...
Das gleiche gilt für jeden einzelnen Node. Was löst nach fünf auf? 3, 13, 53, 213, 853... Nach 13? 17, 69, 277, 1109... Nach 17? 11, 45, 181, 725... Nach 19.273? 25.697, 102.789, 411.157, 1.644.629... Die letzte Gruppe binär:
25.697 110 0100 0110 0001
102.789 1 1001 0001 1000 0101
411.157 110 0100 0110 0001 0101
1.644.629 1 1001 0001 1000 0101 0101
...

Also beinhaltet z. B. der Graph von 1-15 neben sämtlichen direkt darin auftretenden Nodes implizit quasi auch bereits jeden Node der entsprechenden 4n+1-Sequenz darüber. Neben 3 (11b) also z. B. auch 938.249.922.368.853 (11010101010101010101010101010101010101010101010101b), der über 3n+1 = 2.814.749.767.106.560 (1010000000000000000000000000000000000000000000000000b) ebenso direkt nach 5 (101b) auflöst. Die entsprechende Sequenz sieht also so aus: 938.249.922.368.853 -> 2.814.749.767.106.560 -> (//48 Dividionen durch 2// ->) 5 -> (16 -> 8 -> [lexicon]4[/lexicon] -> 2 ->) 1.

Daraus folgt auch, dass kein Wert aus irgendeiner 4n+1-Sequenz über den bereits aufgetretenen Nodes noch in einem höheren Rank auftreten kann. 11b, 1101b, 110101b... können nur in demselben Rank wie [lexicon]3[/lexicon] auftreten. Statt Rank könnte man vielleicht von Klassen oder auch Mengen sprechen, die über jeder distinkten Bitfolge die nicht mit 01b in den LSB daherkommt via 4n+1 gebildet werden können:
K0 = {1, 5, 21...}
K1 = {[lexicon]3[/lexicon], 13, 53...}
K2 = {7, 29, 117...}
K3 = {11, 45, 181...}
K4 = {15, 61, 245...}
K5 = {17, 69, 277...}
...

Vielleicht könnte man, als Mathematiker, ja nun hingehen und irgendwie beweisen, dass durch die Klassen via Bijektion sämtliche ungeraden natürlichen Zahlen abgebildet sein müssen und daraus dann den Beweis der Vermutung herleiten. Ich bin aber wohl mathematisch zu unterbelichtet oder auch einfach zu blöd und das geht viel einfacher. Ist für mich eher so, als ob da ein unsichtbarer Elefant im Raum steht, den ich zwar rieche und höre, aber einfach nicht zu fassen bekomme. *g

Was die Graphen imo aber allemal zeigen, ist, dass es in den Sequenzen alles andere als chaotisch zugeht. Noch nicht einmal deterministisch-chaotisch. Alles superordentlich quasi.

Ehrlich gesagt habe ich hier den Überblick verloren.
Was genau meinst du hinsichtlich des Collatz-Problems gelöst zu haben oder welche für dich klaren Indizien hast du wozu dazu?

Ehrlich gesagt habe ich hier den Überblick verloren.
Was genau meinst du hinsichtlich des Collatz-Problems gelöst zu haben oder welche für dich klaren Indizien hast du wozu dazu?