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  • Ein Kalkül

    Der dreistufige Aufbau logischer Strukturen

    Begriff, Wert und Junktor

    Mir scheint, dass die Komplexität logisch relevanter Strukturen einen mehrstufigen Aufbau des logischen Kalküls nahelegt. Erforderlich sind mindestens drei Stufen, die alle nach demselben Grundschema aufgebaut sind: Ein Begriff wird bewertet. Der Begriff „Begriff “ wird dabei als übergeordnete Gattung verstanden. Diese Gattung zerfällt in die beiden Unterarten „Prädikat“ und „Satz“. Prädikate und Sätze sind die beiden logisch relevanten Begriffsarten.

    Der Wert ist seinerseits wiederum ein spezielles Prädikat, dessen Anwendung auf Begriffe, also auf Prädikate und Sätze beschränkt ist. Frege spricht in diesem Zusammenhang von Prädikaten „zweiter Stufe“. Diese beziehen sich nicht auf gewöhnliche Gegenstände, sondern auf Begriffe, also auf Prädikate und Sätze. Beispiele für Werte oder Prädikate zweiter Stufe sind „wahr“, „existiert“, „möglich“.

    Begriffe können können miteinander verknüpft werden. Die Verknüpfungszeichen heißen „Junktoren“. Beispiele dafür sind „nicht“, „und“, „oder“. Sind p und q einfache (unverknüpfte) Begriffe, so sind bspw. p ∧ q (p und q) oder p → q (wenn p dann q) verknüpft oder komplex. Abweichend von der gängigen Praxis verwenden wir dieselben Junktoren für die Verknüpfung sowohl von Prädikaten als auch von Sätzen. Sind p und q Prädikate, wobei p für das Prädikat „rund“ und q für das Prädikat „rot“ stehen man, dann bedeutet p∧q „rund und rot“. Sind p und q Sätze, wobei p für den Satz „Der Ball ist rund“ und q für den Satz „Der Ball ist rot“ stehen mag, dann bedeutet p ∧ q: „Der Ball ist rund und rot“. Die Verknüpfung zweier oder mehrerer Begriffe bezeichnen wir als komplexen Begriff.

    Bewertung und Beziehung

    Bewertungen von Begriffspaaren können zumeist als Beziehung zwischen diesen beiden Begriffen interpretiert werden. Gegeben sei die Verknüpfung 'Rabe ∧ nicht-schwarz'. Diesen komplexen Begriff bewerten wir dahingehend, dass wir ihm den Wert „existiert“ absprechen: „Es gibt keine nicht-schwarzen Raben“. Diese Bestreitung der Existenz nicht-schwarzer Raben ist nun aber nur eine ungewohnte Formulierung des universellen Urteils: „Alle Raben sind schwarz“. Dieses Urteil kann wiederum als Beziehung zwischen den Begriffen „Rabe“ und „schwarz“ gelesen werden: Der Begriff „Rabe“ ist dem Begriff „schwarz“ untergeordnet.

    Die Phrase „Es gibt keine nicht schwarzen Raben“ entspricht der bekannten Begriffssubsumtion. Wir verwenden dafür die Formel r ⇒ s, wobei r „Rabe“ und s „schwarz“ bedeutet. (Die Beziehung r ⇒ s ist nicht zu verwechseln mit der Verknüpfung r → s). Der Grund für die obige Einschränkung, dass Bewertungen von paarweise verknüpften Begriffen zumeist als Beziehungen interpretiert werden können, ist, dass es eine Ausnahme gibt. Diese Ausnahmen ist ausgerechnet ein für die Logik ganz zentrales Element: die als wahr bewertete Verknüpfung zweier Sätze.

    Wenn wir feststellen, dass p ∧ q wahr ist, interpretieren wir dies für gewöhnlich nicht so, dass wir damit eine bestimmte Beziehung zwischen den beiden Sätzen p und q zum Ausdruck bringen wollen. Die als wahr bewertete Konjunktion ist vielmehr äquivalent mit der Verknüpfung selbst: w(p∧q) ⇔ p ∧ q. Der Wert „wahr“ ist hier in einem gewissen Sinne redundant. Ganz anders bei der Subjunktion p → q. Zwar ist auch hier der Wert redundant und es gilt, wie bei der Konjunktion, die Äquivalenz w(p → q) ⇔ p → q. Hier aber ist es üblich, die Verknüpfung als Beziehung zu lesen: „Wenn p, dann q“. Dadurch verschwimmt allerdings der Unterschied zwischen der Verknüpfung p → q und der Beziehung p ⇒ q, was zu mancherlei Irritationen führt. Logisch betrachtet zerfällt das umgangssprachliche „wenn - dann“ in zwei Formen, die Subjunktion p → q und die Implikation p ⇒ q.

    Die drei Ebenen

    Auf der untersten Ebene der Logik bewerten wir Prädikate: „Es gibt Katzen“, „Es gibt nur schwarze Raben“. Ein solchermaßen bewertetes, einfaches oder komplexes Prädikat ist ein Satz.

    Auf der nächsthöheren Ebene bewerten wir Sätze: „‘Das ist ein Rabe’ ist wahr“, „‘Alle Raben sind schwarz’ ist erfüllbar“, „‘Ein Rabe ist ein Vogel’ ist allgemeingültig“. Ein augenfälliger Unterschied zur Bewertung eines Prädikats besteht also in dem Umstand, dass ein bewerteter Satz wiederum ein Satz ist, wohingegen ein bewertetes Prädikat kein Prädikat darstellt, sondern ein Satz ist.

    Auf der dritten Ebene bewerten wir die Bewertungen von Sätzen. Hier reduziert sich die Vielfalt der möglichen Werte auf das Paar „wahr“ und „falsch“, denn die vorgenommene Bewertung des Satzes war entweder zutreffen oder nicht. Die Bewertung des Satzes „Ein Rabe ist ein Vogel“ ist allgemeingültig wahr oder analytisch, und die Bewertung dieser Bewertung ist deshalb wahr.

    Die Relevanz der Unterscheidung logischer Ebenen will ich am Beispiel der beiden folgenden Sätze verdeutlichen:
    • Alle Raben (r) sind schwarz (s).
    • Ein Rabe (r) ist ein Vogel (v).
    Üblicherweise stellt man den Unterschied zwischen diesen beiden Sätzen so dar, dass man im ersten Fall Quantoren, im zweiten Modaloperatoren heranzieht. Den quantifizierten Satz schreibt man häufig ∀x : r(x) → s(x), den modalen Satz □(r → v), wobei □ der Notwendigkeitsoperator ist. Unsere Behandlung der beiden Sätze unterscheiden sich davon deutlich.

    Auf der Ebene der Prädikate drücken wir beide Sätze durch die identische Implikation aus und schreiben p ⇒ s für den ersten und p ⇒ v für den zweiten Satz. Die wichtige Unterscheidung analytisch/synthetisch kommt erst auf der zweiten Stufe zum tragen. Dort erweist sich der Satz r ⇒ w als erfüllbar, p ⇒ v aber als allgemeingültig. Auch dies lässt sich dann im Kalkül leicht ausdrücken.

    Was wäre denn der Vorteil

    Wenn der Kalkül lediglich dasselbe leisten würde, wie die gängigen Formalismen, brächte er keinen nennenswerten Gewinn. Tatsächlich bringt er aber einige Vorteile mit. Ein erster Vorteil liegt in der einheitlichen Form für die Aussagen-, Prädikaten- und Modallogik. Diese bisher sehr heterogenen Darstellungen lassen sich auf dieselbe Form zurückführen: Ein Begriff wird bewertet.

    Der zweite, vielleicht bedeutendere Vorteil liegt in der formalen Behandlung der Paradoxie. Sätze wie „Diese Aussage ist falsch“ oder auch „Der gegenwärtige König von Frankreich ist kahlköpfig“ lassen sich nahtlos in den Kalkül einfügen. Tatsächlich liegt dort sein Ausgangspunkt. Die Möglichkeit der Anwendung auf gewöhnliche Satzformen hat sich im Nachhinein ergeben.

  • Ein Kalkül

    Singuläres Urteil (Fortführung)

    Wenn wir den Eigennamen beim singulären Urteil als Wert interpretieren, müssen wir eine Möglichkeit für eine Differenzierung schaffen, denn es gibt viele verschiedene Eigennamen. Eine Möglichkeit bietet die Indizierung des Werts:

    i1(p) bedeuten dann bspw.: Hans ist hungrig,

    i2(p): Fritz ist hungrig.

    Verneint wird beim singulären Urteil immern der Term. Die Verneinung des Werts (Eigennamens) ziehen wir hier vorerst nicht in Betracht:

    • ¬(i1(p)) ⇔ i1(¬p)

    Durch die Indizierung und die Besonderheit der Verneinung unterscheidet sich der Wert "i" vom Wert "w". Beide haben dennoch dasselbe Satzzeichen.

    • i(p) =d (p)(10)
    • w(p) =d (p)(10)

  • Ein Kalkül

    Das singuläre Urteil

    Die Analyse des singulären Urteils liegt scheinbar auf der Hand: Ein Gegenstand fällt unter einen Begriff. Für die formale Darstellung hat sich die Anlehnung an die mathematische Funktion eingebürgert, wobei der Satzgegenstand als Argument, die Satzaussage als Funktor interpretiert wird. Sei S der Name "Sokrates" und m das Prädikat "Mensch", erhält man gemäß der üblichen Interpretation des singulären Urteils die Formel m(S) für "Sokrates ist ein Mensch". Ersetzt man den Eigennamen "Sokrates" durch eine Klasse von Objekten, schreibt man statt des Eigennamens eine Variable, über die man quantifiziert. "Alle Menschen sind sterblich" wir zu ∀x : f(x) → g(x).

    Ich analysiere das singuläre Urteil dagegen in Übereinstimmung mit den Vereinbarungen in #1 und #2 als Bewertung eines Terms. Aus dieser Sicht ist das Prädikat der zu bewertende Term und der Eigenname der Wert. Das singuläre Urteil: "Das ist eine Katze" hat demnach die Form

    • i(k),

    wobei das Argumtent "k" für Katze steht, während das hinweisende "Das da" in der Formel als Wert "i" auftaucht. i kann auch ein Eigenname oder ein Demonstrativpronomen sein. "Sokrate (s) ist ein Mensch (m)" hat demnach die Form:

    • s(m).

    Das stellt die gängige Analyse des singulären Urteils auf den Kopf. Das singuläre Urteil hat nun dieselbe Bewertung wie die Wahrheit der Aussage:

    Singuläres Urteil:

    i(p) =d (p)(10).

  • Ein Kalkül

    Bewertung

    Bewertet werden nicht eigentlich Terme, sondern immer Paare aus Term und Komplement. Erst dadurch lässt sich die Komplexität der Logik der Umgangssprache angemessen wiedergeben. Mit der Behauptung, das "Schnee ist weiß" wahr ist, ist zugleich gesetzt, dass das Komplement "Schnee ist nicht weiß" falsch ist. Mit der Behauptung, dass es Katzen gibt, ist zugleich gesetzt, dass die Existenz des Komplements "Nicht-Katze" unbestimmt ist. Auf diesem Weg lassen sich die üblichen Werte auf eine einheitliche Weise definieren. Die erste Stelle der Bewertung betrifft den Term, die zweite Stellen sein Komplement.

    Wahrheit:

    w(p) =d (p)(10)

    Falschheit:

    f(p) =d (p)(01)

    Existenz und Möglichkeit:

    e(p) =d (p)(1/)

    Nichtexistenz und Unmöglichkeit:

    n(p) =d (p)(0/)

  • Ein Kalkül

    Terme werden verknüpft und bewertet. Auf dieser einfachen Grundlage kann man einen Kalkül errichten, der wichtige Teilgebiete der Logik zusammenführt, die bisher mit teils recht unterschiedlichen formalen Mitteln behandelt werden: Aussagen-, Prädikaten- und Modallogik. Als Verknüpfungszeichen verwenden wir die üblichen aussagenlogischen Junktoren. Verknüpft werden zwei Arten von Termen: Begriffe und Aussagen.

    Die Anzahl der Werte ist je nach Zählweise verschieden. Nach der sparsamsten Art, zu zählen, benötigen wir drei Werte:

    • 1 : wissen, dass etwas der Fall ist
    • 0 : wissen, dass etwas nicht der Fall ist
    • / : nicht wissen, ob etwas der Fall ist.

    Mit den beiden zuerst genannten Werten ist die Aussagenlogik abgedeckt, durch Hinzunahme des dritten wird daraus eine Prädikaten- und Modallogik. Aus dem Umstand, dass die Werte in charakteristischer Weise kombiniert werden können, ergeben sich andere Zählweisen, die die Logik als vier-, sieben- oder achtwertig erscheinen lassen.

  • Administratives, Plauderecke und Off-Topic Lounge

    Quote from sybok

    Aber gibt es das irgendwo ausgearbeitet?

    Das weiß ich nicht. Ich kenne nur die LoF selbst, nicht aber weiterführende Arbeiten, die sich darauf beziehen. Aber die Ausarbeitung ist relativ einfach und kann leicht selbst durchgeführt werden. Die Anleitung ist folgende:

    1. Man kann eine zur Prädikatenlogik isomorphe dreiwertige Logik mit den Werten 1 (existiert), 0 (existiert nicht), / (unbestimmt) konstruieren. Das enstspricht den drei unterschiedlichen Feldern im Venn-Diagramm: 1 = mit Kreuz, 0 = schraffiert, / = unmarkiert. Dieser Kalkül benötigt keine Quantoren. Für kompliziertere Fälle ersetzt man die Diagramme durch ausdrucksstärkere Tabellen oder 'Satzzeichen'.
    2. S-Bs unendlich lange Satzketten sind teilweise im Wert unbestimmt, liefern also den benötigten dritten Wert /.
    3. Die drei Werte 1, 0, / in Verbindung mit den Regeln der Dominanz aus den LoF ermöglichen die Formulierung einer Prädikatenlogik.

    Ich stelle das kurz in der mir vertrauten Schreibweise der Standard-Aussagenlogik dar, es lässt sich aber leicht in den Hakenkalkül übersetzen.

    P sei die unendliche Satzkette p∨p∨p... Diese unendliche Satzkette ist äquivalent mit dem Ausdruck p∨P (wobei P die unendlich lange Kette darstellt). Nach dem von Spencer-Brown formulierten Gesetz der Dominanz gilt nun:

    • p∨P hat den Wert 1 für den Fall, dass p den Wert 1 hat
    • p∨P hat den Wert / für den Fall, dass p den Wert 0 hat

    Die vier elementaren Satzzeichen sind dann:

    • es gibt p: (p)(1/)
    • es gibt keine p: (p)(0/)
    • es gibt nicht-p: (p)(/1)
    • es gibt keine nicht-p: (p)(/0)

    Damit ist das Wesentliche bereits getan. Einige eher triviale Zwischenschritte habe ich übersprungen.

  • Administratives, Plauderecke und Off-Topic Lounge

    Quote from sybok

    Die imaginären Wahrheitswerte stehen da ja im Zusammenhang mit der Zeit und der Kritik, dass "klassische" Logik nicht sozusagen intrinsisch Zeit und Dynamik abbilden kann.

    Spencer-Brown interpretiert seine imaginären Wahrheitswerte als Wechsel in der Zeit. Es ginge auch anders. Er hätte seine "imaginären" Wahrheitswerte auch so interpretieren können, dass eine vernünftige Prädikatenlogik dabei herausgekommen wäre. Aber das war ihm dann vermutlich zu unspektakulär.

  • Administratives, Plauderecke und Off-Topic Lounge

    Quote from Philodendron

    Bei «Gesetze der Form» habe ich Mühe damit zu erkennen, wie diese formalisierten Gesetze mir im Alltag helfen sollen.

    Das ist einfach eine etwas ungewöhnliche Darstellung der Aussagenlogik nebst einer Erweiterung in Richtung unendlich langer Satzketten. Wenn dir also Aussagenlogik im Alltag hilft, dann auch die LoF. Als Prädikatenlogik funktioneren die LoF schon nicht mehr. Da hat Spencer-Brown eine Bruchlandung erlitten.